Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Considere la función $f(x)$, donde $a \in \mathbb{R}$, dada por

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1 - e^x}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases}$

a) Calcule el valor de $a$ para que la función sea continua. [1 punto]

b) Calcule la ecuación de la recta tangente en $x = 1$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ para que la función sea continua. [1 punto]}$

Para $x\neq 0$ la función es cociente de funciones continuas con denominador no nulo, luego es continua. El único punto que hay que estudiar es $x=0$, donde será continua si el límite coincide con el valor que toma allí.

$\lim_{x\to 0}\dfrac{1-e^{x}}{x}=\dfrac{1-1}{0}=\dfrac{0}{0}$

Aplicamos la regla de L'Hôpital, derivando por separado numerador y denominador:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{-e^{x}}{1}=-1$

Para que la función sea continua en $x=0$ —y, por tanto, en todo $\mathbb{R}$— debe ser $a=-1$.

$\textbf{b) Calcule la ecuación de la recta tangente en } \boldsymbol{x = 1}\textbf{. [1 punto]}$

La recta tangente en un punto tiene por pendiente el valor de la derivada, así que necesitamos $f(1)$ y $f'(1)$. Como $1\neq 0$, usamos la primera rama de la función.

$f(1)=\dfrac{1-e^{1}}{1}=1-e$

Derivamos por la regla del cociente:

$f'(x)=\dfrac{-e^{x}\cdot x-\left(1-e^{x}\right)}{x^2}=\dfrac{-x\,e^{x}+e^{x}-1}{x^2}$

$f'(1)=\dfrac{-e+e-1}{1}=-1$

La ecuación punto-pendiente de la recta tangente es:

$y-f(1)=f'(1)(x-1)\Rightarrow y-(1-e)=-1\,(x-1)$

$y=-x+1+1-e\Rightarrow y=-x+2-e$

La recta tangente a la gráfica en $x=1$ es $y=-x+2-e$, es decir, una recta de pendiente $-1$.