Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

a) Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función $f(x) = e^x (x^2 - x + 1)$. [1 punto]

b) Justifique si existe algún valor de $x$ tal que $f(x) = 2$. [1 punto]

$\textbf{a) Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función } \boldsymbol{f(x) = e^x (x^2 - x + 1)}\textbf{. [1 punto]}$

La función es producto de una exponencial y un polinomio, así que su dominio es todo $\mathbb{R}$ y es derivable en él. Derivamos con la regla del producto y sacamos factor común.

$f'(x)=e^{x}\left(x^2-x+1\right)+e^{x}(2x-1)=e^{x}\left(x^2+x\right)=e^{x}\,x(x+1)$

$f'(x)=0\Rightarrow x(x+1)=0\Rightarrow \begin{cases}x=-1 \\ x=0\end{cases}$

La exponencial es siempre positiva, luego el signo de $f'$ lo decide la parábola $x(x+1)$, que abre hacia arriba:

$f'(-2)=2e^{-2}>0\qquad f'\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac14 e^{-1/2}<0\qquad f'(1)=2e>0$



La función crece en $(-\infty,-1)$, decrece en $(-1,0)$ y vuelve a crecer en $(0,+\infty)$.

Como pasa de creciente a decreciente en $x=-1$, ahí hay un máximo relativo, y como pasa de decreciente a creciente en $x=0$, ahí hay un mínimo relativo:

$f(-1)=e^{-1}(1+1+1)=\dfrac{3}{e}\approx 1{,}1036\qquad f(0)=e^{0}\cdot 1=1$

$\textbf{b) Justifique si existe algún valor de } \boldsymbol{x}\textbf{ tal que } \boldsymbol{f(x) = 2}\textbf{. [1 punto]}$

La función es continua en todo $\mathbb{R}$, así que basta encontrar un intervalo en cuyos extremos $f$ quede por debajo y por encima de $2$ y aplicar el teorema de los valores intermedios (o el de Bolzano a $f(x)-2$).

$f(0)=1<2$

$f(1)=e\left(1-1+1\right)=e\approx 2{,}7183>2$

Como $f$ es continua en $[0,1]$ y toma los valores $1$ y $e$ en sus extremos, alcanza todos los valores intermedios; en particular existe $c\in(0,1)$ con $f(c)=2$.

Además ese valor es único: en $(0,+\infty)$ la función es estrictamente creciente, y en el resto del dominio no llega a $2$, porque su mayor valor allí es el máximo relativo $\frac{3}{e}\approx 1{,}1036$.

Sí existe un valor de $x$ con $f(x)=2$, y es único: está en el intervalo $(0,1)$.