Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Sean el plano $\Pi$ de ecuación $2x + y - z - 2 = 0$ y la recta $r$ dada por $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y-2}{-3} = \dfrac{z-1}{3}$.

a) Estudie la posición relativa de la recta respecto del plano. [1 punto]

b) Calcule la distancia de la recta al plano. [1 punto]

De la ecuación continua de la recta leemos un punto y un vector director.

$r:\dfrac{x}{3}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z-1}{3}\Rightarrow P_r(0,2,1),\ \vec v_r=(3,-3,3)$

$\textbf{a) Estudie la posición relativa de la recta respecto del plano. [1 punto]}$

Si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano, la recta no lo corta: o es paralela o está contenida en él. Lo decide después un punto.

$\vec n_{\Pi}=(2,1,-1)$

$\vec v_r\cdot\vec n_{\Pi}=3\cdot 2+(-3)\cdot 1+3\cdot(-1)=6-3-3=0$

Los dos vectores son perpendiculares, así que la recta no corta al plano. Comprobamos si su punto pertenece a él:

$2\cdot 0+2-1-2=-1\neq 0\Rightarrow P_r\notin\Pi$

La recta $r$ es paralela al plano $\Pi$ y exterior a él.

$\textbf{b) Calcule la distancia de la recta al plano. [1 punto]}$

Al ser paralelos, todos los puntos de la recta están a la misma distancia del plano, de modo que basta calcular la de uno cualquiera con la fórmula de la distancia de un punto a un plano.



$d(r,\Pi)=d\left(P_r,\Pi\right)=\dfrac{\left|Ax_0+By_0+Cz_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

$d(r,\Pi)=\dfrac{\left|2\cdot 0+2-1-2\right|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}=\dfrac{|-1|}{\sqrt6}=\dfrac{1}{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}{6}\ \text{u}$

La distancia de la recta al plano es de $\frac{\sqrt6}{6}\approx 0{,}4082$ unidades de longitud.