Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Dada la matriz $\begin{pmatrix} 1 & -1 & k \\ 2 & -k & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$:

a) Estudie los valores de $k \in \mathbb{R}$ para los que la matriz tiene inversa. [1 punto]

b) Calcule la inversa para $k = 1$. [1 punto]

$\textbf{a) Estudie los valores de } \boldsymbol{k \in \mathbb{R}}\textbf{ para los que la matriz tiene inversa. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es nulo, así que lo calculamos y averiguamos cuándo se anula.

$|A|=\begin{vmatrix}1 & -1 & k \\ 2 & -k & 1 \\ 1 & -1 & -1\end{vmatrix}=k-1-2k+k^2+1-2=k^2-k-2$

$k^2-k-2=0\Rightarrow k=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{1\pm 3}{2}\Rightarrow \begin{cases}k=2 \\ k=-1\end{cases}$

La matriz tiene inversa para todo valor real de $k$ distinto de $2$ y de $-1$.

$\textbf{b) Calcule la inversa para } \boldsymbol{k = 1}\textbf{. [1 punto]}$

Para $k=1$ la matriz es:

$A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1\end{pmatrix}$

Por el apartado anterior $|A|=1-1-2=-2\neq 0$, luego la inversa existe. La calculamos con la matriz adjunta.

$A^{t}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix}$

$\operatorname{Adj}\left(A^{t}\right)=\begin{pmatrix}2 & -2 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\operatorname{Adj}\left(A^{t}\right)=-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}2 & -2 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 \\ -\dfrac32 & 1 & -\dfrac12 \\ \dfrac12 & 0 & -\dfrac12\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado multiplicando por la matriz de partida:

$\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 \\ -\dfrac32 & 1 & -\dfrac12 \\ \dfrac12 & 0 & -\dfrac12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

La inversa pedida es la matriz anterior.