Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

La duración de un smartphone se ajusta a una normal de media 3 años y desviación típica de 1 año. El fabricante da una garantía de 3,5 años a sus smartphones.

a) Calcule la probabilidad de que un smartphone dure menos que la garantía. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que un smartphone dure más de 5 años. [1 punto]

Sea $X$ la duración, en años, de un smartphone. Según el enunciado:

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(3;\,1)$

Al ser $\sigma=1$ y $\mu=3$, la tipificación es simplemente

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=X-3\sim N(0,1)$

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que un smartphone dure menos que la garantía. [1 punto]}$

La garantía es de $3{,}5$ años, así que tipificamos ese valor y buscamos el área que queda a su izquierda.

$P(X<3{,}5)=P\left(Z<\dfrac{3{,}5-3}{1}\right)=P(Z<0{,}5)=\Phi(0{,}5)=0{,}6915$



La probabilidad de que un smartphone dure menos que la garantía es $0{,}6915$, es decir, un $69{,}15\%$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que un smartphone dure más de 5 años. [1 punto]}$

Ahora nos piden el área de la cola derecha, que obtenemos restando de uno la que acumula la tabla.

$P(X>5)=P\left(Z>\dfrac{5-3}{1}\right)=P(Z>2)=1-\Phi(2)$

$=1-0{,}9772=0{,}0228$



La probabilidad de que un smartphone dure más de cinco años es $0{,}0228$, es decir, apenas un $2{,}28\%$.