Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Dadas las funciones $f(x) = 3x - x^2$ y $g(x) = x^2 - 2x$, calcule el área de la región limitada por sus gráficas. [2 puntos]

Buscamos primero los puntos de corte de las dos parábolas, que son los límites de integración, y después integramos la diferencia entre la que va por arriba y la que va por abajo.

$f(x)=g(x)\Rightarrow 3x-x^2=x^2-2x\Rightarrow -2x^2+5x=0$

$x(5-2x)=0\Rightarrow \begin{cases}x=0 \\ x=\dfrac52\end{cases}$

Solo hay dos cortes, así que el recinto es de una pieza. Vemos cuál va por encima evaluando la diferencia en un punto interior:

$(f-g)(1)=(3-1)-(1-2)=2+1=3>0\Rightarrow f\ \text{va por encima}$



Integramos la diferencia y aplicamos la regla de Barrow:

$A=\displaystyle\int_{0}^{5/2}\left(5x-2x^2\right)dx=\left[\dfrac{5x^2}{2}-\dfrac{2x^3}{3}\right]_{0}^{5/2}$

$=\dfrac52\cdot\dfrac{25}{4}-\dfrac23\cdot\dfrac{125}{8}=\dfrac{125}{8}-\dfrac{125}{12}$

$=\dfrac{375-250}{24}=\dfrac{125}{24}\ \text{u}^2$

El área de la región limitada por las dos parábolas es de $\frac{125}{24}\approx 5{,}2083$ unidades de área.