Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Resuelva la integral $\displaystyle\int \ln^2(x) \, dx$. [2 puntos]

El integrando no es un producto aparente, pero se resuelve por partes tomando $dv=dx$: al derivar el logaritmo al cuadrado baja el exponente y la integral se simplifica.

$\begin{cases}u=\ln^2(x) & du=\dfrac{2\ln(x)}{x}\,dx \\ dv=dx & v=x\end{cases}$

$\displaystyle\int \ln^2(x)\,dx=x\ln^2(x)-\int x\cdot\dfrac{2\ln(x)}{x}\,dx=x\ln^2(x)-2\int \ln(x)\,dx$

La integral que queda se hace otra vez por partes, con el mismo criterio:

$\begin{cases}u=\ln(x) & du=\dfrac{1}{x}\,dx \\ dv=dx & v=x\end{cases}$

$\displaystyle\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-\int x\cdot\dfrac{1}{x}\,dx=x\ln(x)-x$

Sustituimos en la expresión anterior:

$\displaystyle\int \ln^2(x)\,dx=x\ln^2(x)-2\left(x\ln(x)-x\right)+C=x\ln^2(x)-2x\ln(x)+2x+C$

Comprobamos derivando el resultado:

$\left[x\ln^2 x-2x\ln x+2x\right]'=\ln^2 x+2\ln x-2\ln x-2+2=\ln^2 x$

La integral pedida es $x\ln^2(x)-2x\ln(x)+2x+C$, definida para $x>0$.