Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Sea la función $f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases}$, con $a \in \mathbb{R}$.

a) Estudie la continuidad de la función $f(x)$ para $x \neq 0$. [0,5 puntos]

b) Calcule el valor de $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x = 0$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Estudie la continuidad de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ para } \boldsymbol{x \neq 0}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Para $x\neq 0$ la función es el cociente de $e^{x}-1-x$ entre $x^2$. El numerador es continuo en todo $\mathbb{R}$, por ser suma de una exponencial y un polinomio, y el denominador también; además el denominador solo se anula en $x=0$, que queda excluido.

Un cociente de funciones continuas es continuo allí donde el denominador no se anula, luego $f$ es continua en $\mathbb{R}-\{0\}$ sea cual sea el valor de $a$.

$\textbf{b) Calcule el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ para que la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ sea continua en } \boldsymbol{x = 0}\textbf{. [1,5 puntos]}$

La función será continua en $x=0$ cuando el límite en ese punto exista y coincida con el valor que toma allí, es decir, cuando

$\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1-x}{x^2}=f(0)=a$

Al sustituir aparece una indeterminación:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1-x}{x^2}=\dfrac{1-1-0}{0}=\dfrac{0}{0}$

Aplicamos la regla de L'Hôpital, derivando por separado numerador y denominador:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{2x}=\dfrac{1-1}{0}=\dfrac{0}{0}$

Sigue siendo indeterminado, así que volvemos a aplicarla:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}}{2}=\dfrac{1}{2}$

Para que la función sea continua en $x=0$ —y, con el apartado anterior, en todo $\mathbb{R}$— el valor del parámetro debe ser $a=\frac12$.