Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Sean las rectas $r$ y $s$ dadas por $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - 3\lambda \\ z = 1 \end{cases}$ y $s: \begin{cases} x + y + z = 2 \\ x - y - z = 4 \end{cases}$.

a) Obtenga un plano $\Pi$ que contiene a la recta $r$ y es paralelo a la recta $s$. [1 punto]

b) Calcule la distancia entre las dos rectas. [1 punto]

Necesitamos un punto y un vector director de cada recta. La primera ya viene en paramétricas; la segunda la resolvemos como sistema.

$r:\begin{cases}x=1+\lambda \\ y=2-3\lambda \\ z=1\end{cases}\Rightarrow P_r(1,2,1),\ \vec v_r=(1,-3,0)$

Sumando y restando las dos ecuaciones de $s$:

$2x=6\Rightarrow x=3\qquad 2y+2z=-2\Rightarrow y+z=-1$

$s:\begin{cases}x=3 \\ y=t \\ z=-1-t\end{cases}\Rightarrow P_s(3,0,-1),\ \vec v_s=(0,1,-1)$

$\textbf{a) Obtenga un plano } \boldsymbol{\Pi}\textbf{ que contiene a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y es paralelo a la recta } \boldsymbol{s}\textbf{. [1 punto]}$

El plano queda determinado por un punto de $r$ y por las dos direcciones, la de $r$ y la de $s$; su producto vectorial es el vector normal.

$\vec n_{\Pi}=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -1\end{vmatrix}=(3-0)\vec i-(-1-0)\vec j+(1-0)\vec k=(3,1,1)$

$\Pi: 3x+y+z+D=0$

Imponemos que pase por $P_r$:

$3\cdot 1+2+1+D=0\Rightarrow D=-6$

$\Pi: 3x+y+z-6=0$

Comprobamos que $s$ no está contenida en el plano, sustituyendo su punto:

$3\cdot 3+0-1-6=2\neq 0$

El plano pedido es $\Pi: 3x+y+z-6=0$, que contiene a $r$ y es paralelo a $s$.

$\textbf{b) Calcule la distancia entre las dos rectas. [1 punto]}$

Los directores no son proporcionales y $s$ no corta al plano que contiene a $r$, luego las dos rectas se cruzan. Su distancia es el cociente entre el valor absoluto del producto mixto y el módulo del producto vectorial de los directores.



$\overrightarrow{P_rP_s}=(3,0,-1)-(1,2,1)=(2,-2,-2)$

$\left[\overrightarrow{P_rP_s},\vec v_r,\vec v_s\right]=\begin{vmatrix}2 & -2 & -2 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -1\end{vmatrix}=6+0-2-0-0-2=2$

$\left|\vec v_r\times\vec v_s\right|=\left|(3,1,1)\right|=\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11}$

$d(r,s)=\dfrac{|2|}{\sqrt{11}}=\dfrac{2}{\sqrt{11}}=\dfrac{2\sqrt{11}}{11}\ \text{u}$

La distancia entre las dos rectas es de $\frac{2\sqrt{11}}{11}\approx 0{,}6030$ unidades de longitud.