Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Discuta y resuelva (en los casos que sea posible) el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$:

$\left.\begin{array}{rcrcl} ax &+& y &=& 1 \\ x &+& ay &=& a \\ ax &+& 2y &=& 1 \end{array}\right\}$

[2 puntos]

Es un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas, de modo que la matriz de coeficientes tiene orden $3\times 2$ y su rango vale como mucho dos. Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$M=\begin{pmatrix}a & 1 \\ 1 & a \\ a & 2\end{pmatrix}\qquad M^{*}=\begin{pmatrix}a & 1 & 1 \\ 1 & a & a \\ a & 2 & 1\end{pmatrix}$

Como $M^{*}$ es cuadrada, empezamos por su determinante:

$|M^{*}|=\begin{vmatrix}a & 1 & 1 \\ 1 & a & a \\ a & 2 & 1\end{vmatrix}=a^2+a^2+2-a^2-2a^2-1=1-a^2$

$1-a^2=0\Rightarrow a=\pm 1$

Comprobamos además que $\operatorname{ran}(M)=2$ sea cual sea $a$: los tres menores de orden dos son $a^2-1$, $a$ y $2-a^2$, y no pueden anularse los tres a la vez.

Si $a\neq 1$ y $a\neq -1$, entonces $\operatorname{ran}(M^{*})=3\neq 2=\operatorname{ran}(M)$ y el sistema es incompatible.

Para $a=1$ el sistema es:

$\begin{cases}x+y=1 \\ x+y=1 \\ x+2y=1\end{cases}\qquad \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & 2\end{vmatrix}=1\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^{*})=2$

El sistema es compatible determinado. Restando la primera ecuación de la tercera:

$y=0\Rightarrow x=1\Rightarrow (x,y)=(1,0)$

Para $a=-1$ el sistema es:

$\begin{cases}-x+y=1 \\ x-y=-1 \\ -x+2y=1\end{cases}\qquad \begin{vmatrix}-1 & 1 \\ -1 & 2\end{vmatrix}=-1\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^{*})=2$

También es compatible determinado. Restando la primera de la tercera:

$y=0\Rightarrow -x=1\Rightarrow x=-1\Rightarrow (x,y)=(-1,0)$

En resumen: el sistema es incompatible para todo $a$ distinto de $1$ y $-1$; para $a=1$ tiene la única solución $(1,0)$ y para $a=-1$ la única solución $(-1,0)$.