Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

Las notas del examen de Matemáticas II de la EBAU siguen una distribución normal de media 6,5 y desviación típica de 1,5. Se elige al azar un alumno de Matemáticas II de la EBAU:

a) Calcule la probabilidad de que un alumno haya aprobado (nota mayor o igual que 5). [1 punto]

b) Calcule la nota que tiene que sacar un alumno para que su nota sea superior al 97,50 % de las notas. [1 punto]

Sea $X$ la nota del examen de Matemáticas II. Según el enunciado:

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(6{,}5;\,1{,}5)$

Para poder usar la tabla de la normal tipificada trabajamos con la variable

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-6{,}5}{1{,}5}\sim N(0,1)$

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que un alumno haya aprobado (nota mayor o igual que 5). [1 punto]}$

Tipificamos el valor $5$ y pasamos al área de la derecha.

$P(X\geq 5)=P\left(Z\geq\dfrac{5-6{,}5}{1{,}5}\right)=P(Z\geq -1)$

Por la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas, el área a la derecha de $-1$ es la misma que la que queda a la izquierda de $1$:

$P(Z\geq -1)=P(Z\leq 1)=\Phi(1)=0{,}8413$



La probabilidad de que un alumno haya aprobado es $0{,}8413$, es decir, un $84{,}13\%$.

$\textbf{b) Calcule la nota que tiene que sacar un alumno para que su nota sea superior al 97,50 \% de las notas. [1 punto]}$

Aquí el dato es la probabilidad y la incógnita es el valor de la variable: buscamos el $k$ que deja a su izquierda el $97{,}50\%$ del área.

$P(X<k)=0{,}9750\Rightarrow P\left(Z<\dfrac{k-6{,}5}{1{,}5}\right)=0{,}9750$

Buscamos ese valor en el interior de la tabla y leemos la abscisa correspondiente:

$\Phi(1{,}96)=0{,}9750\Rightarrow \dfrac{k-6{,}5}{1{,}5}=1{,}96$

$k=6{,}5+1{,}96\cdot 1{,}5=6{,}5+2{,}94=9{,}44$



El alumno tiene que sacar una nota de $9{,}44$ para superar al $97{,}50\%$ de sus compañeros.