Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Sean las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = \sqrt{x}$.

a) Represente la región plana delimitada por las gráficas de las funciones $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo $[0, 2]$. [0,5 puntos]

b) Calcule el área de la región anterior. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Represente la región plana delimitada por las gráficas de las funciones } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y } \boldsymbol{g(x)}\textbf{ en el intervalo } \boldsymbol{[0, 2]}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Buscamos primero los puntos de corte de las dos gráficas, porque son los que separan los trozos de la región.

$x^2=\sqrt{x}\Rightarrow x^4=x\Rightarrow x\left(x^3-1\right)=0\Rightarrow \begin{cases}x=0 \\ x=1\end{cases}$

Dentro de $[0,2]$ hay, pues, dos cortes, y el segundo trozo se cierra en el extremo $x=2$. Vemos cuál de las dos gráficas queda por encima en cada tramo:

$(g-f)\left(\tfrac14\right)=\dfrac12-\dfrac{1}{16}>0\Rightarrow g\ \text{va por encima en }(0,1)$

$(g-f)\left(\tfrac32\right)=1{,}2247-2{,}25<0\Rightarrow f\ \text{va por encima en }(1,2)$



La región es la comprendida entre las dos curvas: hasta $x=1$ va por arriba la raíz y desde ahí la parábola.

$\textbf{b) Calcule el área de la región anterior. [1,5 puntos]}$

Integramos en cada tramo la diferencia entre la función de arriba y la de abajo, y aplicamos la regla de Barrow.

$A_1=\displaystyle\int_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-x^2\right)dx=\left[\dfrac{2x^{3/2}}{3}-\dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac23-\dfrac13=\dfrac13$

$A_2=\displaystyle\int_{1}^{2}\left(x^2-\sqrt{x}\right)dx=\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{2x^{3/2}}{3}\right]_{1}^{2}=\left(\dfrac83-\dfrac{4\sqrt2}{3}\right)-\left(\dfrac13-\dfrac23\right)$

$A_2=\dfrac83-\dfrac{4\sqrt2}{3}+\dfrac13=3-\dfrac{4\sqrt2}{3}\approx 1{,}1144$

$A=A_1+A_2=\dfrac13+3-\dfrac{4\sqrt2}{3}=\dfrac{10-4\sqrt2}{3}\approx 1{,}4477\ \text{u}^2$

El área de la región es de $\frac{10-4\sqrt2}{3}\approx 1{,}4477$ unidades de área.