Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2021

Estudie asíntotas, monotonía (crecimiento y decrecimiento), extremos relativos y puntos de inflexión de la función $f(x) = e^{-x^2}$. [2 puntos]

La función es una exponencial cuyo exponente es un polinomio, así que su dominio es todo $\mathbb{R}$ y es derivable en él tantas veces como haga falta.

Asíntotas. No hay verticales, porque la función es continua en todo $\mathbb{R}$. Para las horizontales:

$\lim_{x\to\pm\infty}e^{-x^2}=e^{-\infty}=0\Rightarrow y=0\ \text{es asíntota horizontal}$

Al haber asíntota horizontal en las dos ramas, no hay asíntota oblicua.

Monotonía. Derivamos aplicando la regla de la cadena:

$f'(x)=-2x\,e^{-x^2}$

$f'(x)=0\Rightarrow -2x\,e^{-x^2}=0\Rightarrow x=0$

La exponencial es siempre positiva, luego el signo de $f'$ es el de $-2x$:

$f'(-1)=2e^{-1}>0\qquad f'(1)=-2e^{-1}<0$



La función crece en $(-\infty,0)$ y decrece en $(0,+\infty)$. Como pasa de creciente a decreciente en $x=0$, ahí hay un máximo relativo, que además es absoluto:

$f(0)=e^{0}=1\Rightarrow \text{máximo en }(0,1)$

Curvatura. Derivamos otra vez, con la regla del producto:

$f''(x)=-2e^{-x^2}+(-2x)\left(-2x\right)e^{-x^2}=e^{-x^2}\left(4x^2-2\right)$

$f''(x)=0\Rightarrow 4x^2-2=0\Rightarrow x^2=\dfrac12\Rightarrow x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$

$f''(-1)=2e^{-1}>0\qquad f''(0)=-2<0\qquad f''(1)=2e^{-1}>0$

La derivada segunda cambia de signo en los dos valores, luego los dos son puntos de inflexión:

$f\left(\pm\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=e^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt e}\approx 0{,}6065$

En resumen: la función tiene la asíntota horizontal $y=0$, crece hasta $x=0$ y decrece a partir de ahí, alcanza un máximo absoluto en $(0,1)$ y tiene puntos de inflexión en $\left(-\frac{\sqrt2}{2},\,e^{-1/2}\right)$ y $\left(\frac{\sqrt2}{2},\,e^{-1/2}\right)$.