Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Sea el plano $\Pi \equiv x + y + z = 1$. Encuentre un plano paralelo a $\Pi$ tal que el triángulo formado por los puntos de corte de dicho plano con los ejes tenga área $2\sqrt{3}$. [2 puntos]

Dos planos son paralelos cuando tienen la misma dirección normal, así que el plano buscado se diferencia del dado solo en el término independiente. Le llamamos $d$ y lo determinamos con la condición del área.

$\sigma: x+y+z=d$

Los puntos de corte con los ejes se obtienen anulando las otras dos coordenadas:

$A(d,0,0)\qquad B(0,d,0)\qquad C(0,0,d)$

El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados:

$\overrightarrow{AB}=(-d,d,0)\qquad \overrightarrow{AC}=(-d,0,d)$

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ -d & d & 0 \\ -d & 0 & d\end{vmatrix}=\left(d^2\right)\vec i-\left(-d^2\right)\vec j+\left(d^2\right)\vec k=\left(d^2,d^2,d^2\right)$

$\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{3d^4}=d^2\sqrt3$

$S=\dfrac{d^2\sqrt3}{2}$

Imponemos ahora la condición del enunciado:

$\dfrac{d^2\sqrt3}{2}=2\sqrt3\Rightarrow d^2=4\Rightarrow d=\pm 2$

Hay, por tanto, dos planos que cumplen lo pedido, uno a cada lado del origen: $x+y+z=2$ y $x+y+z=-2$. Ninguno coincide con $\Pi$, cuyo término independiente es $1$.