Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Dados el plano $\Pi \equiv kx + y - z = 0$ y la recta $r \equiv \dfrac{x-4}{2} = \dfrac{y-2}{1} = \dfrac{z+2}{-1}$:

a) Determine los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que el plano $\Pi$ contenga a $r$. [1 punto]

b) Para $k = 0$, calcule el ángulo que forman $\Pi$ y $r$. [1 punto]

De la ecuación continua de la recta leemos un punto y un vector director, que hacen falta en los dos apartados.

$r:\dfrac{x-4}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+2}{-1}\Rightarrow P_r(4,2,-2),\ \vec v_r=(2,1,-1)$

$\textbf{a) Determine los valores del parámetro } \boldsymbol{k \in \mathbb{R}}\textbf{ para que el plano } \boldsymbol{\Pi}\textbf{ contenga a } \boldsymbol{r}\textbf{. [1 punto]}$

Para que el plano contenga a la recta hacen falta dos cosas: que la dirección de la recta sea perpendicular a la normal del plano y que un punto de la recta pertenezca al plano.

$\vec n_{\Pi}=(k,1,-1)$

$\vec n_{\Pi}\cdot\vec v_r=2k+1+1=2k+2=0\Rightarrow k=-1$

$P_r\in\Pi\Rightarrow 4k+2-(-2)=4k+4=0\Rightarrow k=-1$

Las dos condiciones dan el mismo valor, luego el plano $\Pi$ contiene a la recta $r$ únicamente para $k=-1$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{k = 0}\textbf{, calcule el ángulo que forman } \boldsymbol{\Pi}\textbf{ y } \boldsymbol{r}\textbf{. [1 punto]}$

El ángulo que forman una recta y un plano es el complementario del que forman el vector director y el vector normal, y por eso el coseno de aquel se convierte en el seno de este.



$k=0\Rightarrow \Pi: y-z=0\Rightarrow \vec n_{\Pi}=(0,1,-1)$

$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\left|\vec v_r\cdot\vec n_{\Pi}\right|}{\left|\vec v_r\right|\left|\vec n_{\Pi}\right|}$

$\vec v_r\cdot\vec n_{\Pi}=0+1+1=2$

$\left|\vec v_r\right|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt6\qquad \left|\vec n_{\Pi}\right|=\sqrt{0+1+1}=\sqrt2$

$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{2}{\sqrt6\cdot\sqrt2}=\dfrac{2}{\sqrt{12}}=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}\approx 0{,}5774$

$\alpha=\arcsin\left(0{,}5774\right)\approx 35^{\circ}\,16'$

Para $k=0$ la recta y el plano forman un ángulo de, aproximadamente, $35^{\circ}\,16'$.