Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Discuta y resuelva (en los casos que sea posible) el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$:

$\left.\begin{array}{rcrcl} x &-& y &=& \lambda \\ x &-& \lambda y &=& \lambda \\ \lambda x &-& y &=& \lambda \end{array}\right\}$

[2 puntos]

Es un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas, así que la matriz de coeficientes es de orden $3\times 2$ y su rango vale como mucho dos. Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$M=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & -\lambda \\ \lambda & -1\end{pmatrix}\qquad M^{*}=\begin{pmatrix}1 & -1 & \lambda \\ 1 & -\lambda & \lambda \\ \lambda & -1 & \lambda\end{pmatrix}$

Como $M^{*}$ es cuadrada, empezamos por su determinante:

$|M^{*}|=\begin{vmatrix}1 & -1 & \lambda \\ 1 & -\lambda & \lambda \\ \lambda & -1 & \lambda\end{vmatrix}=\lambda^3-2\lambda^2+\lambda=\lambda(\lambda-1)^2$

$|M^{*}|=0\Rightarrow \begin{cases}\lambda=0 \\ \lambda=1\end{cases}$

Si $\lambda\neq 0$ y $\lambda\neq 1$, entonces $\operatorname{ran}(M^{*})=3$. Pero $\operatorname{ran}(M)\leq 2$, luego los rangos no pueden coincidir y el sistema es incompatible.

Para $\lambda=0$:

$\begin{cases}x-y=0 \\ x=0 \\ -y=0\end{cases}\qquad \begin{vmatrix}1 & -1 \\ 1 & 0\end{vmatrix}=1\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(M)=2$

Como también $|M^{*}|=0$, resulta $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^{*})=2$, igual al número de incógnitas: el sistema es compatible determinado. De la segunda ecuación $x=0$ y de la tercera $y=0$, valores que cumplen también la primera.

$(x,y)=(0,0)$

Para $\lambda=1$:

$\begin{cases}x-y=1 \\ x-y=1 \\ x-y=1\end{cases}$

Las tres ecuaciones son la misma, luego $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^{*})=1<2=\text{nº de incógnitas}$ y el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

$y=t\Rightarrow x=1+t\Rightarrow (x,y)=(1+t,\,t),\ t\in\mathbb{R}$

En resumen: el sistema es incompatible para todo $\lambda$ distinto de $0$ y $1$; para $\lambda=0$ tiene la única solución $(0,0)$; y para $\lambda=1$ tiene infinitas soluciones, las de la recta $x-y=1$.