Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2022

El diámetro de las cerezas picotas del Jerte se distribuye normalmente con media 2,5 cm y desviación típica 0,2 cm.

a) Si se desea seleccionar, para su exportación, el 10 % de las más grandes, ¿a partir de qué tamaño hay que cogerlas? [1 punto]

b) Si tomamos una cereza picota del Jerte al azar, ¿qué probabilidad tiene la cereza de tener un diámetro entre 2,2 cm y 2,8 cm? [1 punto]

Sea $X$ el diámetro, en centímetros, de una cereza picota del Jerte. Según el enunciado:

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(2{,}5;\,0{,}2)$

Para poder usar la tabla de la normal tipificada trabajamos con la variable

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-2{,}5}{0{,}2}\sim N(0,1)$

$\textbf{a) Si se desea seleccionar, para su exportación, el 10 \% de las más grandes, ¿a partir de qué tamaño hay que cogerlas? [1 punto]}$

Aquí el dato es la probabilidad y la incógnita es el valor de la variable: buscamos el $k$ que deja a su derecha el $10\%$ del área, o lo que es lo mismo, el $90\%$ a su izquierda.

$P(X>k)=0{,}10\Rightarrow P(X<k)=0{,}90\Rightarrow P\left(Z<\dfrac{k-2{,}5}{0{,}2}\right)=0{,}90$

Buscamos en el interior de la tabla el valor $0{,}90$ y leemos la abscisa que le corresponde:

$\Phi(1{,}28)=0{,}8997\approx 0{,}90\Rightarrow \dfrac{k-2{,}5}{0{,}2}=1{,}28$

$k=2{,}5+1{,}28\cdot 0{,}2=2{,}756$



Hay que seleccionar las cerezas de diámetro superior a $2{,}756\ \text{cm}$, aproximadamente $2{,}76\ \text{cm}$.

$\textbf{b) Si tomamos una cereza picota del Jerte al azar, ¿qué probabilidad tiene la cereza de tener un diámetro entre 2,2 cm y 2,8 cm? [1 punto]}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo. Al estar ambos a la misma distancia de la media, el intervalo es simétrico y podemos usar la simetría de la campana.

$P(2{,}2<X<2{,}8)=P\left(\dfrac{2{,}2-2{,}5}{0{,}2}<Z<\dfrac{2{,}8-2{,}5}{0{,}2}\right)=P(-1{,}5<Z<1{,}5)$

$P(-1{,}5<Z<1{,}5)=2\,\Phi(1{,}5)-1=2\cdot 0{,}9332-1=0{,}8664$



La probabilidad de que una cereza tomada al azar tenga un diámetro entre $2{,}2$ y $2{,}8\ \text{cm}$ es $0{,}8664$, es decir, un $86{,}64\%$.