Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Halle el parámetro positivo $a \in \mathbb{R}$ tal que el área de la región plana encerrada por las gráficas de las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = ax$ sea $\dfrac{4}{3}$. [2 puntos]

Planteamos el área en función de $a$ y después imponemos que valga $\frac43$. Empezamos por los puntos de corte, que son los límites de integración.

$x^2=ax\Rightarrow x^2-ax=0\Rightarrow x(x-a)=0\Rightarrow \begin{cases}x=0 \\ x=a\end{cases}$

Como $a$ es positivo, el recinto queda entre $x=0$ y $x=a$. Vemos qué gráfica va por encima evaluando la diferencia en el punto medio:

$\left(g-f\right)\left(\dfrac{a}{2}\right)=a\cdot\dfrac{a}{2}-\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{a^2}{4}>0\Rightarrow g\ \text{va por encima}$

Integramos la diferencia y aplicamos la regla de Barrow:

$A=\displaystyle\int_{0}^{a}\left(ax-x^2\right)dx=\left[\dfrac{ax^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{a}=\dfrac{a^3}{2}-\dfrac{a^3}{3}=\dfrac{a^3}{6}$

Imponemos ahora la condición del enunciado:

$\dfrac{a^3}{6}=\dfrac43\Rightarrow a^3=8\Rightarrow a=2$

De las tres raíces cúbicas de $8$ solo $a=2$ es real, y además es positiva, como pide el enunciado.



El valor pedido es $a=2$: la recta $y=2x$ encierra con la parábola $y=x^2$ un recinto de área $\frac43$ unidades de área.