Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Calcule la integral $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^3 - x} \, dx$. [2 puntos]

El integrando es una función racional con el numerador de grado menor que el denominador, así que la descomponemos en fracciones simples. Factorizamos primero el denominador.

$x^3-x=x\left(x^2-1\right)=x(x-1)(x+1)$

Las tres raíces son reales y simples, luego la descomposición es

$\dfrac{1}{x(x-1)(x+1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{x+1}$

$1=A(x-1)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x-1)$

Damos a $x$ los valores que anulan cada factor:

$x=0\Rightarrow 1=A(-1)(1)\Rightarrow A=-1$

$x=1\Rightarrow 1=B\cdot 1\cdot 2\Rightarrow B=\dfrac12$

$x=-1\Rightarrow 1=C(-1)(-2)\Rightarrow C=\dfrac12$

Integramos término a término; las tres son inmediatas de tipo logarítmico:

$\displaystyle\int\dfrac{1}{x^3-x}\,dx=\int\left(\dfrac{-1}{x}+\dfrac{1}{2(x-1)}+\dfrac{1}{2(x+1)}\right)dx$

$=-\ln|x|+\dfrac12\ln|x-1|+\dfrac12\ln|x+1|+C$

La integral pedida es la expresión anterior, que agrupando los logaritmos se escribe también como $\ln\dfrac{\sqrt{\left|x^2-1\right|}}{|x|}+C$.