Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2022

Halle los puntos de inflexión de la gráfica de la función $f(x) = x - \ln(x^2 + 1)$. [2 puntos]

Los puntos de inflexión son aquellos en los que la curvatura cambia de sentido, es decir, aquellos en los que la derivada segunda se anula y además cambia de signo. Derivamos dos veces.

$f(x)=x-\ln\left(x^2+1\right)$

El argumento del logaritmo es siempre positivo, luego el dominio es todo $\mathbb{R}$.

$f'(x)=1-\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{x^2+1-2x}{x^2+1}=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}$

$f''(x)=\dfrac{2(x-1)\left(x^2+1\right)-(x-1)^2\cdot 2x}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{2(x-1)\left[x^2+1-x(x-1)\right]}{\left(x^2+1\right)^2}$

$f''(x)=\dfrac{2(x-1)(x+1)}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{2\left(x^2-1\right)}{\left(x^2+1\right)^2}$

$f''(x)=0\Rightarrow x^2-1=0\Rightarrow \begin{cases}x=-1 \\ x=1\end{cases}$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo, así que el signo de $f''$ lo decide el numerador. Lo comprobamos con un punto de cada intervalo:

$f''(-2)=\dfrac{2\cdot 3}{25}>0\qquad f''(0)=\dfrac{2(-1)}{1}=-2<0\qquad f''(2)=\dfrac{2\cdot 3}{25}>0$

La derivada segunda cambia de signo en los dos puntos, luego los dos son de inflexión. Calculamos sus ordenadas:

$f(-1)=-1-\ln 2\approx -1{,}6931\qquad f(1)=1-\ln 2\approx 0{,}3069$

Los puntos de inflexión de la gráfica son $(-1,\,-1-\ln 2)$ y $(1,\,1-\ln 2)$. La función es convexa en $(-\infty,-1)$ y en $(1,+\infty)$, y cóncava en $(-1,1)$.