Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2022

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^3}{1 - x^2}$:

a) Estudie asíntotas, monotonía y puntos extremos de $f(x)$. [1,5 puntos]

b) Con los datos obtenidos, represente de forma aproximada la gráfica de $f(x)$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Estudie asíntotas, monotonía y puntos extremos de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [1,5 puntos]}$

La función es un cociente de polinomios, así que su dominio son todos los reales salvo los que anulan el denominador.

$1-x^2=0\Rightarrow x=\pm 1\Rightarrow \operatorname{Dom} f=\mathbb{R}-\{-1,1\}$

Asíntotas verticales. Las candidatas son los dos puntos excluidos del dominio, y en ambos el numerador no se anula:

$\lim_{x\to -1^{-}}\dfrac{x^3}{1-x^2}=\dfrac{-1}{0^{-}}=+\infty\qquad \lim_{x\to -1^{+}}\dfrac{x^3}{1-x^2}=\dfrac{-1}{0^{+}}=-\infty$

$\lim_{x\to 1^{-}}\dfrac{x^3}{1-x^2}=\dfrac{1}{0^{+}}=+\infty\qquad \lim_{x\to 1^{+}}\dfrac{x^3}{1-x^2}=\dfrac{1}{0^{-}}=-\infty$

Las rectas $x=-1$ y $x=1$ son asíntotas verticales.

Asíntota horizontal. El grado del numerador supera al del denominador, así que no la hay:

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^3}{1-x^2}=-\infty$

Asíntota oblicua $y=mx+n$. Como el numerador tiene exactamente un grado más que el denominador, sí existe:

$m=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2}{1-x^2}=-1$

$n=\lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)+x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^3+x-x^3}{1-x^2}=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{1-x^2}=0$

La asíntota oblicua es $y=-x$.

Monotonía. Derivamos por la regla del cociente y simplificamos:

$f'(x)=\dfrac{3x^2\left(1-x^2\right)-x^3(-2x)}{\left(1-x^2\right)^2}=\dfrac{3x^2-3x^4+2x^4}{\left(1-x^2\right)^2}=\dfrac{x^2\left(3-x^2\right)}{\left(1-x^2\right)^2}$

$f'(x)=0\Rightarrow x^2\left(3-x^2\right)=0\Rightarrow \begin{cases}x=0 \\ x=-\sqrt3 \\ x=\sqrt3\end{cases}$

El denominador es un cuadrado, luego siempre positivo, y $x^2\geq 0$: el signo de $f'$ lo decide el factor $3-x^2$, que es positivo entre $-\sqrt3$ y $\sqrt3$.

La función decrece en $\left(-\infty,-\sqrt3\right)$ y en $\left(\sqrt3,+\infty\right)$, y crece en el resto de su dominio.

En $x=-\sqrt3$ pasa de decreciente a creciente, luego hay un mínimo relativo; en $x=\sqrt3$ pasa de creciente a decreciente, luego hay un máximo relativo. En $x=0$ la derivada se anula pero no cambia de signo, así que no hay extremo.

$f\left(-\sqrt3\right)=\dfrac{-3\sqrt3}{1-3}=\dfrac{3\sqrt3}{2}\approx 2{,}598\qquad f\left(\sqrt3\right)=\dfrac{3\sqrt3}{1-3}=-\dfrac{3\sqrt3}{2}\approx -2{,}598$

$\textbf{b) Con los datos obtenidos, represente de forma aproximada la gráfica de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Solo falta el corte con los ejes, que se obtiene anulando el numerador:

$x^3=0\Rightarrow x=0\Rightarrow (0,0)$



Obsérvese que, por estar la gráfica partida en tres ramas por las asíntotas verticales, el mínimo relativo queda por encima del máximo relativo; los dos son relativos y ninguno absoluto.