Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Dados los puntos $A = (0,0,2)$ y $B = (1,1,0)$ y la recta $r: \begin{cases} x = 1 \\ y = z \end{cases}$, calcule un punto $P \in r$ para que el triángulo $ABP$ tenga un ángulo recto en el punto $A$. [2 puntos]

Que el triángulo $ABP$ tenga un ángulo recto en $A$ significa que los dos lados que salen de ese vértice son perpendiculares, es decir, que el producto escalar de $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AP}$ se anula. Escribimos primero un punto genérico de la recta.

$r:\begin{cases}x=1 \\ y=z\end{cases}\Rightarrow P(1,\lambda,\lambda),\ \lambda\in\mathbb{R}$

$\overrightarrow{AB}=(1,1,0)-(0,0,2)=(1,1,-2)$

$\overrightarrow{AP}=(1,\lambda,\lambda)-(0,0,2)=(1,\lambda,\lambda-2)$

Imponemos la perpendicularidad:

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}=1+\lambda-2(\lambda-2)=1+\lambda-2\lambda+4=5-\lambda$

$5-\lambda=0\Rightarrow \lambda=5$

Llevamos ese valor a las paramétricas de la recta:

$P(1,5,5)$

Comprobamos el resultado:

$\overrightarrow{AP}=(1,5,3)\Rightarrow \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}=1+5-6=0$

El punto pedido es $P(1,5,5)$, y es el único de la recta que cumple la condición porque la ecuación en $\lambda$ es de primer grado.