Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Discuta, en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$, el sistema lineal de ecuaciones

$\begin{array}{rcrcrcr} 4x &+& y &-& 2az &=& a \\ ax &-& y &+& z &=& 0 \\ && y &-& az &=& -1 \end{array}$

[2 puntos]

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada. Empezamos por el determinante de la primera.

$M=\begin{pmatrix}4 & 1 & -2a \\ a & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -a\end{pmatrix}\qquad M^{*}=\begin{pmatrix}4 & 1 & -2a & a \\ a & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -a & -1\end{pmatrix}$

Desarrollamos por la primera fila:

$|M|=4(a-1)-1\left(-a^2-0\right)+(-2a)(a-0)=4a-4+a^2-2a^2$

$|M|=-a^2+4a-4=-(a-2)^2$

$|M|=0\Rightarrow a=2$

Si $a\neq 2$, el determinante no se anula y $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^{*})=3$, igual al número de incógnitas: el sistema es compatible determinado.

Para $a=2$ la matriz ampliada es:

$M^{*}=\begin{pmatrix}4 & 1 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -1\end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix}4 & 1 \\ 2 & -1\end{vmatrix}=-4-2=-6\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(M)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}4 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1\end{vmatrix}=4+0+4-0-0+2=10\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(M^{*})=3$

Como $\operatorname{ran}(M)=2\neq 3=\operatorname{ran}(M^{*})$, para $a=2$ el sistema es incompatible.

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo valor real de $a$ distinto de $2$, y es incompatible para $a=2$.