Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Un examen con opción múltiple está compuesto por 10 preguntas, con cuatro respuestas posibles cada una, de las cuales sólo una es correcta. Suponga que uno de los estudiantes responde todas las preguntas del examen al azar. Calcule la probabilidad de que conteste bien:

a) Cinco preguntas. [0,75 puntos]

b) Alguna pregunta. [0,75 puntos]

c) Calcule la media y la desviación típica de la distribución. [0,5 puntos]

Sea $X$ el número de preguntas que el estudiante acierta. Cada pregunta se contesta al azar entre cuatro opciones con una sola correcta, luego la probabilidad de acertar es $p=\frac14$ en todas, y unas preguntas no influyen en otras. Se trata, por tanto, de una distribución binomial.

$X\sim B(n,p)=B(10;\,0{,}25)$

$\textbf{a) Cinco preguntas. [0,75 puntos]}$

Aplicamos la función de probabilidad de la binomial con $k=5$.

$P(X=5)=\binom{10}{5}(0{,}25)^{5}(0{,}75)^{5}=252\cdot 0{,}000977\cdot 0{,}237305=0{,}0584$

La probabilidad de acertar exactamente cinco preguntas es $0{,}0584$, es decir, un $5{,}84\%$.

$\textbf{b) Alguna pregunta. [0,75 puntos]}$

Acertar alguna es acertar una o más. Calcularlo directamente obligaría a sumar diez términos, así que pasamos al suceso contrario, que es no acertar ninguna.

$P(X\geq 1)=1-P(X=0)$

$P(X=0)=\binom{10}{0}(0{,}25)^{0}(0{,}75)^{10}=(0{,}75)^{10}=0{,}0563$

$P(X\geq 1)=1-0{,}0563=0{,}9437$

La probabilidad de acertar alguna pregunta es $0{,}9437$, es decir, un $94{,}37\%$.

$\textbf{c) Calcule la media y la desviación típica de la distribución. [0,5 puntos]}$

Aplicamos las fórmulas de la media y de la desviación típica de una binomial.

$\mu=n\,p=10\cdot 0{,}25=2{,}5$

$\sigma=\sqrt{n\,p\,(1-p)}=\sqrt{10\cdot 0{,}25\cdot 0{,}75}=\sqrt{1{,}875}\approx 1{,}3693$

Contestando al azar se aciertan, por término medio, $2{,}5$ preguntas de las diez, con una desviación típica de $1{,}3693$ preguntas.