Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Calcule el área encerrada por la gráfica de la función $f(x) = \operatorname{sen}(2x)$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0$ y $x = \pi$. [2 puntos]

Para calcular el área que una curva encierra con el eje de abscisas hay que localizar primero los ceros de la función dentro del intervalo, porque en cada trozo el signo puede cambiar y las partes situadas por debajo del eje darían integral negativa.

$\operatorname{sen}(2x)=0\Rightarrow 2x=k\pi\Rightarrow x=\dfrac{k\pi}{2}$

En el intervalo $[0,\pi]$ los ceros son $x=0$, $x=\frac{\pi}{2}$ y $x=\pi$, de modo que el recinto tiene dos trozos. Miramos el signo en cada uno:

$\operatorname{sen}\left(2\cdot\dfrac{\pi}{4}\right)=\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2}=1>0\qquad \operatorname{sen}\left(2\cdot\dfrac{3\pi}{4}\right)=\operatorname{sen}\dfrac{3\pi}{2}=-1<0$



Calculamos cada integral y aplicamos la regla de Barrow:

$\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}(2x)\,dx=\left[-\dfrac{\cos(2x)}{2}\right]_{0}^{\pi/2}=-\dfrac{\cos\pi}{2}+\dfrac{\cos 0}{2}=\dfrac12+\dfrac12=1$

$\displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi}\operatorname{sen}(2x)\,dx=\left[-\dfrac{\cos(2x)}{2}\right]_{\pi/2}^{\pi}=-\dfrac{\cos 2\pi}{2}+\dfrac{\cos\pi}{2}=-\dfrac12-\dfrac12=-1$

$A=|1|+|-1|=2\ \text{u}^2$

El área encerrada por la gráfica, el eje de abscisas y las rectas $x=0$ y $x=\pi$ es de $2$ unidades de área. Los dos lóbulos miden lo mismo porque la función es simétrica respecto del punto $\left(\frac{\pi}{2},0\right)$.