Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2022

Dada la función $f(x) = |x + 1| + |x - 2|$:

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función. [1 punto]

b) Calcule el intervalo donde la función permanece constante. [1 punto]

Los valores absolutos cambian de expresión donde se anula lo que hay dentro, es decir, en $x=-1$ y en $x=2$. Escribimos la función a trozos con esos dos puntos.

$f(x)=\begin{cases}-(x+1)-(x-2)=-2x+1 & \text{si } x<-1 \\ (x+1)-(x-2)=3 & \text{si } -1\leq x<2 \\ (x+1)+(x-2)=2x-1 & \text{si } x\geq 2\end{cases}$

$\textbf{a) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función. [1 punto]}$

Cada trozo es un polinomio, luego la función es continua y derivable en todos los puntos salvo, quizá, en $x=-1$ y $x=2$, que estudiamos aparte.

Continuidad en $x=-1$:

$\lim_{x\to -1^{-}}(-2x+1)=3\qquad \lim_{x\to -1^{+}}3=3=f(-1)$

Continuidad en $x=2$:

$\lim_{x\to 2^{-}}3=3\qquad \lim_{x\to 2^{+}}(2x-1)=3=f(2)$

La función es continua en todo $\mathbb{R}$. Estudiamos ahora las derivadas laterales:

$f'(x)=\begin{cases}-2 & \text{si } x<-1 \\ 0 & \text{si } -1<x<2 \\ 2 & \text{si } x>2\end{cases}$

$f'\left(-1^{-}\right)=-2\neq 0=f'\left(-1^{+}\right)\qquad f'\left(2^{-}\right)=0\neq 2=f'\left(2^{+}\right)$

Las derivadas laterales no coinciden en ninguno de los dos puntos, así que la función es derivable en $\mathbb{R}-\{-1,2\}$. Gráficamente son dos puntos angulosos.

$\textbf{b) Calcule el intervalo donde la función permanece constante. [1 punto]}$

Del estudio a trozos se lee directamente: la función vale $3$ en todo el tramo central, y ahí su derivada es nula.



La función es constante, de valor $3$, en el intervalo $[-1,2]$.