Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que la función

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x \cdot e^x - \operatorname{sen} x}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases}$

sea continua en $x = 0$. [2 puntos]

La función es continua en $x=0$ cuando existe el límite en ese punto y coincide con el valor que toma allí, es decir, cuando

$\lim_{x\to 0}\dfrac{x\,e^{x}-\operatorname{sen}x}{x^2}=f(0)=a$

Calculamos el límite. Al sustituir aparece una indeterminación:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{x\,e^{x}-\operatorname{sen}x}{x^2}=\dfrac{0-0}{0}=\dfrac{0}{0}$

Aplicamos la regla de L'Hôpital, derivando por separado numerador y denominador:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}+x\,e^{x}-\cos x}{2x}=\dfrac{1+0-1}{0}=\dfrac{0}{0}$

Sigue siendo indeterminado, de modo que volvemos a aplicarla:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{2e^{x}+x\,e^{x}+\operatorname{sen}x}{2}=\dfrac{2+0+0}{2}=1$

Para que la función sea continua en $x=0$ el valor del parámetro debe ser $a=1$.