Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Dada la recta $r$ definida por $\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+1}{3} = \dfrac{z-2}{1}$:

a) Halle la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a $r$. [1 punto]

b) Halle la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a $r$. [1 punto]

De la ecuación continua de la recta leemos un punto y un vector director, que es lo que necesitan los dos apartados.

$r:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-2}{1}\Rightarrow P_r(1,-1,2),\ \vec v_r=(2,3,1)$

$\textbf{a) Halle la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a } \boldsymbol{r}\textbf{. [1 punto]}$

Un plano que pasa por el origen y contiene a la recta queda determinado por dos direcciones: la de la propia recta y la del vector que une el origen con un punto de ella. Su producto vectorial da el vector normal.

$\overrightarrow{OP_r}=(1,-1,2)$

$\vec n_{\pi}=\overrightarrow{OP_r}\times\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 1\end{vmatrix}=(-1-6)\vec i-(1-4)\vec j+(3+2)\vec k=(-7,3,5)$

Como el plano pasa por el origen, su término independiente es cero:

$\pi: -7x+3y+5z=0\quad\text{o bien}\quad \pi: 7x-3y-5z=0$

Comprobamos que $P_r$ pertenece al plano, con lo que la recta entera está contenida en él:

$7\cdot 1-3(-1)-5\cdot 2=7+3-10=0$

El plano pedido es $\pi: 7x-3y-5z=0$.

$\textbf{b) Halle la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a } \boldsymbol{r}\textbf{. [1 punto]}$

Si el plano es perpendicular a la recta, el vector director de esta es un vector normal del plano, así que la ecuación se escribe de forma inmediata.

$\vec n_{\sigma}=\vec v_r=(2,3,1)\Rightarrow \sigma: 2x+3y+z+D=0$

Imponemos que pase por el origen:

$2\cdot 0+3\cdot 0+0+D=0\Rightarrow D=0$

El plano pedido es $\sigma: 2x+3y+z=0$. Obsérvese que los dos planos son perpendiculares entre sí, porque sus normales lo son: $(-7,3,5)\cdot(2,3,1)=-14+9+5=0$.