Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Dados el plano $\pi$ de ecuación $x + 2y - z = 0$ y $r$ la recta de ecuaciones $r \equiv \begin{cases} y - 2x = 1 \\ x - z = 0 \end{cases}$.

a) Halle el punto de intersección del plano $\pi$ y la recta $r$. [1 punto]

b) Calcule la distancia del origen a la recta $r$. [1 punto]

Empezamos pasando la recta a paramétricas, porque los dos apartados necesitan un punto y un vector director suyos.

$r\equiv\begin{cases}y-2x=1 \\ x-z=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x=\lambda \\ y=1+2\lambda \\ z=\lambda\end{cases}\ \lambda\in\mathbb{R}\Rightarrow P_r(0,1,0),\ \vec v_r=(1,2,1)$

$\textbf{a) Halle el punto de intersección del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [1 punto]}$

Sustituimos las coordenadas de un punto genérico de la recta en la ecuación del plano y despejamos el parámetro.

$\lambda+2(1+2\lambda)-\lambda=0\Rightarrow \lambda+2+4\lambda-\lambda=0$

$4\lambda+2=0\Rightarrow \lambda=-\dfrac12$

Llevamos ese valor a las paramétricas:

$x=-\dfrac12,\qquad y=1+2\left(-\dfrac12\right)=0,\qquad z=-\dfrac12$

El punto de intersección es $P\left(-\frac12,\,0,\,-\frac12\right)$. Al existir un único valor de $\lambda$, la recta corta al plano en un solo punto.

$\textbf{b) Calcule la distancia del origen a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [1 punto]}$

La distancia de un punto a una recta se mide en perpendicular, y se obtiene con el producto vectorial del vector que une el punto con uno de la recta y el vector director.



$d(O,r)=\dfrac{\left|\overrightarrow{OP_r}\times\vec v_r\right|}{\left|\vec v_r\right|}$

$\overrightarrow{OP_r}=(0,1,0)-(0,0,0)=(0,1,0)$

$\overrightarrow{OP_r}\times\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1\end{vmatrix}=(1-0)\vec i-(0-0)\vec j+(0-1)\vec k=(1,0,-1)$

$\left|\overrightarrow{OP_r}\times\vec v_r\right|=\sqrt{1+0+1}=\sqrt2\qquad \left|\vec v_r\right|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt6$

$d(O,r)=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt6}=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}\ \text{u}$

La distancia del origen a la recta $r$ es de $\frac{\sqrt3}{3}\approx 0{,}5774$ unidades de longitud.