Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ a \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

a) Calcule, cuando sea posible, las matrices $C \cdot B^t$, $B^t \cdot C$, $B \cdot C$, donde $B^t$ es la matriz traspuesta de $B$. [0,5 puntos]

b) Halle $a \in \mathbb{R}$ para que el sistema $x \cdot A + y \cdot B = C$ de tres ecuaciones y dos incógnitas $x$ e $y$ sea compatible determinado, y resuélvalo para ese valor de $a$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule, cuando sea posible, las matrices } \boldsymbol{C \cdot B^t}\textbf{, } \boldsymbol{B^t \cdot C}\textbf{, } \boldsymbol{B \cdot C}\textbf{, donde } \boldsymbol{B^t}\textbf{ es la matriz traspuesta de } \boldsymbol{B}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Dos matrices se pueden multiplicar cuando el número de columnas de la primera coincide con el de filas de la segunda, así que empezamos anotando los órdenes. Las tres matrices dadas son de orden $3\times 1$ y $B^t$ es de orden $1\times 3$.

$C\cdot B^{t}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & -1 & -4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -1 & -4 \\ 6 & -2 & -8 \\ 3 & -1 & -4\end{pmatrix}$

$B^{t}\cdot C=\begin{pmatrix}3 & -1 & -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}=(3-2-4)=(-3)$

El producto $B\cdot C$ no se puede efectuar: $B$ tiene una columna y $C$ tiene tres filas.

$\textbf{b) Halle } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{ para que el sistema } \boldsymbol{x \cdot A + y \cdot B = C}\textbf{ de tres ecuaciones y dos incógnitas } \boldsymbol{x}\textbf{ e } \boldsymbol{y}\textbf{ sea compatible determinado, y resuélvalo para ese valor de } \boldsymbol{a}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Escribimos la igualdad de matrices columna como un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas.

$x\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ a\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ -4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases}2x+3y=1 \\ x-y=2 \\ ax-4y=1\end{cases}$

La matriz de coeficientes tiene rango dos para cualquier valor de $a$, porque el menor formado por las dos primeras filas no se anula:

$\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & -1\end{vmatrix}=-2-3=-5\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(M)=2$

Como el número de incógnitas es dos, el sistema será compatible determinado en cuanto la ampliada tenga también rango dos, es decir, cuando su determinante se anule:

$\begin{vmatrix}2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ a & -4 & 1\end{vmatrix}=-2+6a-4+a+16-3=7a+7$

$7a+7=0\Rightarrow a=-1$

Para $a=-1$ resolvemos el sistema con las dos primeras ecuaciones, que son las del menor no nulo. Despejando $x=y+2$ en la segunda y sustituyendo en la primera:

$2(y+2)+3y=1\Rightarrow 5y=-3\Rightarrow y=-\dfrac35$

$x=-\dfrac35+2=\dfrac75$

Comprobamos que la tercera ecuación se cumple con esos valores:

$-1\cdot\dfrac75-4\left(-\dfrac35\right)=-\dfrac75+\dfrac{12}{5}=\dfrac55=1$

El sistema es compatible determinado para $a=-1$, y su solución es $x=\frac75$, $y=-\frac35$.