Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Calcule el área de la región encerrada por las gráficas de las funciones $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$ y $g(x) = x$. [2 puntos]

Buscamos primero los puntos de corte de las dos gráficas, que son los límites de integración, y después integramos en cada tramo la diferencia entre la función de arriba y la de abajo.

$f(x)=g(x)\Rightarrow x^3-3x^2+3x=x\Rightarrow x^3-3x^2+2x=0$

$x\left(x^2-3x+2\right)=0\Rightarrow x(x-1)(x-2)=0\Rightarrow \begin{cases}x=0 \\ x=1 \\ x=2\end{cases}$

El recinto tiene dos trozos. Vemos cuál de las dos gráficas queda por encima en cada uno evaluando la diferencia en un punto interior:

$(f-g)\left(\tfrac12\right)=\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)=0{,}375>0\Rightarrow f\ \text{va por encima en }(0,1)$

$(f-g)\left(\tfrac32\right)=\tfrac32\cdot\tfrac12\cdot\left(-\tfrac12\right)=-0{,}375<0\Rightarrow g\ \text{va por encima en }(1,2)$



Calculamos cada trozo y aplicamos la regla de Barrow:

$A_1=\displaystyle\int_{0}^{1}\left(x^3-3x^2+2x\right)dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-x^3+x^2\right]_{0}^{1}=\dfrac14-1+1=\dfrac14$

$A_2=\displaystyle\int_{1}^{2}\left(-x^3+3x^2-2x\right)dx=\left[-\dfrac{x^4}{4}+x^3-x^2\right]_{1}^{2}=(-4+8-4)-\left(-\dfrac14+1-1\right)=\dfrac14$

$A=A_1+A_2=\dfrac14+\dfrac14=\dfrac12\ \text{u}^2$

El área de la región encerrada por las dos gráficas es de media unidad de área.