Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Determine la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = (x + 1)e^{x+1}$ que cumple $F(0) = -1$. [2 puntos]

Es una integral de polinomio por exponencial, que se resuelve por partes tomando como $u$ el polinomio, para que al derivarlo desaparezca.

$\begin{cases}u=x+1 & du=dx \\ dv=e^{x+1}dx & v=e^{x+1}\end{cases}$

$\displaystyle\int (x+1)e^{x+1}dx=(x+1)e^{x+1}-\int e^{x+1}dx=(x+1)e^{x+1}-e^{x+1}+C$

Sacamos factor común la exponencial y el paréntesis se simplifica:

$=e^{x+1}\left(x+1-1\right)+C=x\,e^{x+1}+C$

De todas las primitivas elegimos la que cumple $F(0)=-1$:

$F(0)=0\cdot e^{1}+C=C=-1$

Comprobamos derivando, con la regla del producto:

$F'(x)=e^{x+1}+x\,e^{x+1}=(x+1)e^{x+1}=f(x)$

La primitiva pedida es $F(x)=x\,e^{x+1}-1$.