Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Calcule los coeficientes $a$, $b$, $c$ y $d$ del polinomio $p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3$, sabiendo que cumple todas las condiciones siguientes: [2 puntos]

• $p(x)$ tiene un máximo relativo en $x = -1$.

• La gráfica de $p(x)$ tiene un punto de inflexión en $(0,0)$.

• La recta tangente a la gráfica de $p(x)$ en $x = 2$ tiene pendiente 3.

Cada una de las tres condiciones se traduce en una ecuación sobre el polinomio o sobre sus derivadas, así que empezamos calculándolas.

$p(x)=a+bx+cx^2+dx^3$

$p'(x)=b+2cx+3dx^2\qquad p''(x)=2c+6dx$

Primera condición: un extremo relativo en $x=-1$ obliga a que ahí se anule la derivada primera.

$p'(-1)=b-2c+3d=0$

Segunda condición: el punto de inflexión en $(0,0)$ da dos ecuaciones, porque el punto pertenece a la gráfica y además anula la derivada segunda.

$p(0)=a=0$

$p''(0)=2c=0\Rightarrow c=0$

Tercera condición: la pendiente de la recta tangente en $x=2$ es el valor de la derivada primera en ese punto.

$p'(2)=b+4c+12d=3$

Sustituimos $c=0$ en la primera y en la tercera ecuación y resolvemos el sistema que queda:

$b+3d=0\Rightarrow b=-3d$

$-3d+12d=3\Rightarrow 9d=3\Rightarrow d=\dfrac13$

$b=-3\cdot\dfrac13=-1$

Comprobamos que en $x=-1$ hay efectivamente un máximo y no un mínimo, mirando el signo de la derivada segunda:

$p(x)=-x+\dfrac{x^3}{3}\Rightarrow p'(x)=x^2-1,\quad p''(x)=2x$

$p''(-1)=-2<0\Rightarrow \text{máximo relativo en } x=-1$

Los coeficientes pedidos son $a=0$, $b=-1$, $c=0$ y $d=\frac13$, es decir, $p(x)=\frac{x^3}{3}-x$.