Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Discuta el sistema $\left.\begin{array}{rcl} x + y + z &=& 2a - 1 \\ 2x + y + az &=& a \\ x + ay + z &=& 1 \end{array}\right\}$ para los distintos valores del parámetro $a \in \mathbb{R}$. [1,5 puntos]

Resuelva el sistema en el caso $a = 1$. [0,5 puntos]

$\textbf{Discuta el sistema para los distintos valores del parámetro } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius: comparamos el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada. Empezamos por el determinante de la primera.

$M=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \\ 1 & a & 1\end{pmatrix}\qquad M^{*}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 2a-1 \\ 2 & 1 & a & a \\ 1 & a & 1 & 1\end{pmatrix}$

$|M|=1+a+2a-1-a^2-2=-a^2+3a-2=-(a-1)(a-2)$

$|M|=0\Rightarrow \begin{cases}a=1 \\ a=2\end{cases}$

Si $a\neq 1$ y $a\neq 2$, entonces $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^{*})=3$, igual al número de incógnitas, y el sistema es compatible determinado.

Para $a=1$ la matriz ampliada es:

$M^{*}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$

La primera y la tercera fila son idénticas. Como

$\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 1\end{vmatrix}=-1\neq 0$

resulta $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^{*})=2<3=\text{nº de incógnitas}$ y el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

Para $a=2$:

$M^{*}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 1\end{pmatrix}\qquad \operatorname{ran}(M)=2$

Orlamos el menor anterior con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{vmatrix}=1+2+12-3-4-2=6\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(M^{*})=3$

Como los rangos no coinciden, para $a=2$ el sistema es incompatible.

$\textbf{Resuelva el sistema en el caso } \boldsymbol{a = 1}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Para $a=1$ la tercera ecuación repite a la primera, así que basta resolver las dos primeras tomando una incógnita como parámetro.

$\begin{cases}x+y+z=1 \\ 2x+y+z=1\end{cases}$

Restando la primera de la segunda desaparecen $y$ y $z$:

$x=0$

$y+z=1\Rightarrow z=\lambda\Rightarrow y=1-\lambda$

Las soluciones del sistema para $a=1$ son los infinitos puntos de la recta $(x,y,z)=(0,\,1-\lambda,\,\lambda)$, con $\lambda$ recorriendo los números reales.