Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Durante el día de hoy una persona va a escribir 15 mensajes en Facebook. Cada mensaje que escribe tiene errores ortográficos con una probabilidad de 0,3. Calcule:

a) La probabilidad de que escriba exactamente 5 mensajes con errores ortográficos. [0,75 puntos]

b) La probabilidad de que escriba 4 o más mensajes con errores. [0,75 puntos]

c) La media y la desviación típica de la distribución. [0,5 puntos]

Sea $X$ el número de mensajes con errores ortográficos de los quince que escribe. Cada mensaje tiene solo dos resultados posibles, la probabilidad de error es la misma en todos y unos no influyen en otros, luego se trata de una distribución binomial.

$X\sim B(n,p)=B(15;\,0{,}3)$

$\textbf{a) La probabilidad de que escriba exactamente 5 mensajes con errores ortográficos. [0,75 puntos]}$

Aplicamos la función de probabilidad de la binomial con $k=5$.

$P(X=5)=\binom{15}{5}(0{,}3)^{5}(0{,}7)^{10}=3003\cdot 0{,}00243\cdot 0{,}0282475=0{,}2061$

La probabilidad de que escriba exactamente cinco mensajes con errores es $0{,}2061$, es decir, un $20{,}61\%$.

$\textbf{b) La probabilidad de que escriba 4 o más mensajes con errores. [0,75 puntos]}$

Calcular $P(X\geq 4)$ directamente obligaría a sumar doce términos, así que pasamos al suceso contrario, que solo tiene cuatro.

$P(X\geq 4)=1-P(X\leq 3)=1-\left[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\right]$

$P(X=0)=(0{,}7)^{15}=0{,}0047$

$P(X=1)=\binom{15}{1}(0{,}3)(0{,}7)^{14}=0{,}0305$

$P(X=2)=\binom{15}{2}(0{,}3)^{2}(0{,}7)^{13}=0{,}0916$

$P(X=3)=\binom{15}{3}(0{,}3)^{3}(0{,}7)^{12}=0{,}1700$

$P(X\leq 3)=0{,}0047+0{,}0305+0{,}0916+0{,}1700=0{,}2969$

$P(X\geq 4)=1-0{,}2969=0{,}7031$

La probabilidad de que escriba cuatro o más mensajes con errores es $0{,}7031$, es decir, un $70{,}31\%$.

$\textbf{c) La media y la desviación típica de la distribución. [0,5 puntos]}$

Aplicamos las fórmulas de la media y de la desviación típica de una binomial.

$\mu=n\,p=15\cdot 0{,}3=4{,}5$

$\sigma=\sqrt{n\,p\,(1-p)}=\sqrt{15\cdot 0{,}3\cdot 0{,}7}=\sqrt{3{,}15}\approx 1{,}7748$

Por término medio escribe $4{,}5$ mensajes con errores de cada quince, con una desviación típica de $1{,}7748$ mensajes.