Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Halle el área encerrada por la gráfica de la función $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje de abscisas. [2 puntos]

El área encerrada entre una curva y el eje de abscisas se calcula integrando la función entre sus cortes con ese eje, tomando el valor absoluto de cada trozo para que las partes situadas por debajo no resten.

$f(x)=0\Rightarrow x^3-4x=0\Rightarrow x\left(x^2-4\right)=0\Rightarrow \begin{cases}x=-2 \\ x=0 \\ x=2\end{cases}$

Hay tres cortes, luego el recinto tiene dos trozos. Miramos el signo de $f$ en cada uno:

$f(-1)=-1+4=3>0\Rightarrow \text{la curva va por encima del eje en }(-2,0)$

$f(1)=1-4=-3<0\Rightarrow \text{la curva va por debajo del eje en }(0,2)$



Calculamos cada integral y aplicamos la regla de Barrow:

$\displaystyle\int_{-2}^{0}\left(x^3-4x\right)dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-2x^2\right]_{-2}^{0}=0-(4-8)=4$

$\displaystyle\int_{0}^{2}\left(x^3-4x\right)dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-2x^2\right]_{0}^{2}=(4-8)-0=-4$

$A=|4|+|-4|=8\ \text{u}^2$

El área encerrada por la gráfica y el eje de abscisas es de $8$ unidades de área. Los dos trozos miden lo mismo porque $f$ es una función impar y el recinto es simétrico respecto del origen.