Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Calcule la integral $\displaystyle\int \dfrac{17 - x}{x^2 + x - 6} \, dx$. [2 puntos]

El integrando es una función racional cuyo numerador tiene grado menor que el denominador, así que la descomponemos en fracciones simples. Factorizamos primero el denominador.

$x^2+x-6=0\Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\dfrac{-1\pm 5}{2}\Rightarrow \begin{cases}x=2 \\ x=-3\end{cases}$

$x^2+x-6=(x-2)(x+3)$

Las dos raíces son reales y simples, luego

$\dfrac{17-x}{(x-2)(x+3)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+3}$

$17-x=A(x+3)+B(x-2)$

Damos a $x$ los valores que anulan cada factor:

$x=2\Rightarrow 15=5A\Rightarrow A=3$

$x=-3\Rightarrow 20=-5B\Rightarrow B=-4$

Integramos término a término; las dos son inmediatas de tipo logarítmico:

$\displaystyle\int\dfrac{17-x}{x^2+x-6}\,dx=\int\left(\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{4}{x+3}\right)dx=3\ln|x-2|-4\ln|x+3|+C$

La integral pedida es $3\ln|x-2|-4\ln|x+3|+C$, que también puede escribirse como $\ln\left|\dfrac{(x-2)^3}{(x+3)^4}\right|+C$.