Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Calcule $a$, $b$ y $c$ para que la función

$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ cx & \text{si } 1 \leq x \leq 4 \end{cases}$

cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo $[0, 4]$. [2 puntos]

El teorema de Rolle pide tres cosas en el intervalo $[0,4]$: continuidad en el intervalo cerrado, derivabilidad en el abierto e igualdad de los valores en los extremos. Cada trozo es un polinomio, así que solo hay que imponer las condiciones en $x=1$, que es donde cambia la definición, y la igualdad $f(0)=f(4)$.

Continuidad en $x=1$:

$\lim_{x\to 1^{-}}\left(x^2+ax+b\right)=1+a+b\qquad \lim_{x\to 1^{+}}(cx)=c=f(1)$

$1+a+b=c$

Derivabilidad en $x=1$:

$f'(x)=\begin{cases}2x+a & \text{si } 0<x<1 \\ c & \text{si } 1<x<4\end{cases}\Rightarrow f'\left(1^{-}\right)=2+a,\quad f'\left(1^{+}\right)=c$

$2+a=c$

Restando esta ecuación de la anterior desaparecen $a$ y $c$:

$(1+a+b)-(2+a)=0\Rightarrow b-1=0\Rightarrow b=1$

Valores en los extremos. Imponemos $f(0)=f(4)$:

$f(0)=b=1\qquad f(4)=4c$

$1=4c\Rightarrow c=\dfrac14$

Y de $2+a=c$ obtenemos el último coeficiente:

$a=c-2=\dfrac14-2=-\dfrac74$

Con estos valores la función es $f(x)=x^2-\frac74x+1$ en $[0,1)$ y $f(x)=\frac{x}{4}$ en $[1,4]$, y en efecto $f(0)=f(4)=1$.

Los coeficientes pedidos son $a=-\frac74$, $b=1$ y $c=\frac14$.