Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Estudie la posición relativa de los siguientes planos en función del parámetro $b$:

$\left.\begin{array}{rcl} x + 2y - z &=& 2 \\ x + (1+b)y - bz &=& 2b \\ x + by + (1+b)z &=& 1 \end{array}\right\}$

[2 puntos]

La posición relativa de tres planos se decide comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada, por el teorema de Rouché-Frobenius. Empezamos calculando el determinante de la matriz de coeficientes.

$M=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\ 1 & 1+b & -b \\ 1 & b & 1+b\end{pmatrix}\qquad M^{*}=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1+b & -b & 2b \\ 1 & b & 1+b & 1\end{pmatrix}$

$|M|=2b^2-2b=2b(b-1)$

$|M|=0\Rightarrow \begin{cases}b=0 \\ b=1\end{cases}$

Si $b\neq 0$ y $b\neq 1$, entonces $\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^{*})=3$, igual al número de incógnitas, y el sistema es compatible determinado: los tres planos se cortan en un único punto.

Para $b=0$:

$M=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\qquad \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 1 & 1\end{vmatrix}=-1\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(M)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{vmatrix}=1+0+0-2-0-2=-3\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(M^{*})=3$

Como $\operatorname{ran}(M)=2\neq 3=\operatorname{ran}(M^{*})$, el sistema es incompatible. Además, ningún par de filas de $M$ es proporcional, así que no hay dos planos paralelos ni coincidentes: los tres se cortan dos a dos en tres rectas paralelas y forman una superficie prismática.



Para $b=1$:

$M^{*}=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 1\end{pmatrix}$

Las dos primeras filas son idénticas también en la ampliada, luego

$\operatorname{ran}(M)=\operatorname{ran}(M^{*})=2<3=\text{nº de incógnitas}$

El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad. Los planos primero y segundo son el mismo y el tercero los corta, de modo que los tres tienen en común una recta.

En resumen: para $b\neq 0,1$ los tres planos se cortan en un punto; para $b=0$ forman una superficie prismática y no tienen ningún punto común; y para $b=1$ dos de ellos coinciden y los tres comparten una recta.