Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

La probabilidad de que un jugador de golf haga hoyo en un lanzamiento a cierta distancia es de 0,4. Si realiza 5 lanzamientos, calcule:

a) La probabilidad de que no haga ningún hoyo. [0,75 puntos]

b) La probabilidad de hacer como mucho 2 hoyos. [0,75 puntos]

c) El número medio de hoyos. [0,5 puntos]

Sea $X$ el número de hoyos que consigue el jugador en los cinco lanzamientos. Cada lanzamiento tiene solo dos resultados posibles, la probabilidad de acertar es la misma en todos y unos no influyen en otros, luego se trata de una distribución binomial.

$X\sim B(n,p)=B(5;\,0{,}4)$

$\textbf{a) La probabilidad de que no haga ningún hoyo. [0,75 puntos]}$

Aplicamos la función de probabilidad de la binomial con $k=0$.

$P(X=0)=\binom{5}{0}(0{,}4)^{0}(0{,}6)^{5}=(0{,}6)^{5}=0{,}0778$

La probabilidad de que no haga ningún hoyo es $0{,}0778$, es decir, un $7{,}78\%$.

$\textbf{b) La probabilidad de hacer como mucho 2 hoyos. [0,75 puntos]}$

Hacer como mucho dos hoyos significa hacer cero, uno o dos, y como son sucesos incompatibles sus probabilidades se suman.

$P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

$P(X=1)=\binom{5}{1}(0{,}4)^{1}(0{,}6)^{4}=5\cdot 0{,}4\cdot 0{,}1296=0{,}2592$

$P(X=2)=\binom{5}{2}(0{,}4)^{2}(0{,}6)^{3}=10\cdot 0{,}16\cdot 0{,}216=0{,}3456$

$P(X\leq 2)=0{,}0778+0{,}2592+0{,}3456=0{,}6826$

La probabilidad de hacer como mucho dos hoyos es $0{,}6826$, es decir, un $68{,}26\%$.

$\textbf{c) El número medio de hoyos. [0,5 puntos]}$

La media de una distribución binomial es el producto de sus dos parámetros.

$\mu=n\,p=5\cdot 0{,}4=2$

El número medio de hoyos es de $2$ por cada cinco lanzamientos.