Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Halle la integral $\displaystyle\int \dfrac{-x^2 + 7x + 6}{x^3 + x^2 - 2x} \, dx$. [2 puntos]

El integrando es una función racional en la que el grado del numerador es menor que el del denominador, así que la resolvemos descomponiéndola en fracciones simples. Empezamos factorizando el denominador.

$x^3+x^2-2x=x\left(x^2+x-2\right)=x(x-1)(x+2)$

Como las tres raíces son reales y simples, la descomposición tiene la forma

$\dfrac{-x^2+7x+6}{x(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{x+2}$

$-x^2+7x+6=A(x-1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-1)$

Damos a $x$ los valores que anulan cada factor:

$x=0\Rightarrow 6=A(-1)(2)\Rightarrow A=-3$

$x=1\Rightarrow -1+7+6=B\cdot 1\cdot 3\Rightarrow 12=3B\Rightarrow B=4$

$x=-2\Rightarrow -4-14+6=C(-2)(-3)\Rightarrow -12=6C\Rightarrow C=-2$

Integramos ahora término a término; las tres son inmediatas de tipo logarítmico:

$\displaystyle\int\dfrac{-x^2+7x+6}{x^3+x^2-2x}\,dx=\int\left(\dfrac{-3}{x}+\dfrac{4}{x-1}+\dfrac{-2}{x+2}\right)dx$

$=-3\ln|x|+4\ln|x-1|-2\ln|x+2|+C$

La integral pedida es $-3\ln|x|+4\ln|x-1|-2\ln|x+2|+C$, que también puede escribirse de forma compacta como $\ln\left|\dfrac{(x-1)^4}{x^3(x+2)^2}\right|+C$.