Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Calcule $a$, $b$ y $c$ para que la función

$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax - b & \text{si } x < 0 \\ a + cx & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$

cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo $[-2, 2]$. [2 puntos]

El teorema de Rolle exige tres condiciones sobre el intervalo $[-2,2]$: que $f$ sea continua en él, que sea derivable en su interior y que tome el mismo valor en los dos extremos. Cada tramo es un polinomio, luego lo único que hay que imponer es lo que ocurre en $x=0$, donde cambia la definición, y la igualdad de los valores extremos. Se obtienen así tres ecuaciones para las tres incógnitas.

Continuidad en $x=0$. Los dos límites laterales y el valor de la función deben coincidir:

$\lim_{x\to 0^{-}}\left(x^2+ax-b\right)=-b\qquad \lim_{x\to 0^{+}}(a+cx)=a=f(0)$

$-b=a\Rightarrow b=-a$

Derivabilidad en $x=0$. Las derivadas laterales deben coincidir:

$f'(x)=\begin{cases}2x+a & \text{si } x<0 \\ c & \text{si } x>0\end{cases}\Rightarrow f'\left(0^{-}\right)=a,\quad f'\left(0^{+}\right)=c$

$a=c$

Valores en los extremos. Imponemos $f(-2)=f(2)$:

$f(-2)=4-2a-b\qquad f(2)=a+2c$

$4-2a-b=a+2c$

Sustituyendo $b=-a$ y $c=a$:

$4-2a+a=a+2a\Rightarrow 4-a=3a\Rightarrow a=1$

$b=-1\qquad c=1$

Comprobamos el resultado: con esos valores la función es $f(x)=x^2+x+1$ si $x<0$ y $f(x)=1+x$ si $x\geq 0$, y en efecto $f(-2)=3=f(2)$.

Los valores pedidos son $a=1$, $b=-1$ y $c=1$.