Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2024

Se considera la función $f(x) = \dfrac{4x + 4}{x^2}$.

a) Estudie sus asíntotas, monotonía y extremos relativos. [1,5 puntos]

b) Represéntela gráficamente. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Estudie sus asíntotas, monotonía y extremos relativos. [1,5 puntos]}$

La función es un cociente de polinomios, así que su dominio son todos los reales salvo los que anulan el denominador.

$x^2=0\Rightarrow x=0\Rightarrow \operatorname{Dom} f=\mathbb{R}-\{0\}$

Asíntotas verticales. La única candidata es el punto que queda fuera del dominio:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{4x+4}{x^2}=\dfrac{4}{0^{+}}=+\infty\Rightarrow x=0\ \text{es asíntota vertical}$

El denominador es un cuadrado, luego es positivo por los dos lados y la rama sube a $+\infty$ tanto por la izquierda como por la derecha.

Asíntotas horizontales. El grado del numerador es menor que el del denominador:

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{4x+4}{x^2}=0\Rightarrow y=0\ \text{es asíntota horizontal}$

Al haber asíntota horizontal, no hay asíntota oblicua.

Monotonía. Derivamos aplicando la regla del cociente y simplificamos:

$f'(x)=\dfrac{4x^2-(4x+4)\cdot 2x}{x^4}=\dfrac{-4x^2-8x}{x^4}=\dfrac{-4(x+2)}{x^3}$

$f'(x)=0\Rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2$

Estudiamos el signo de $f'$ en los tres intervalos que determinan $x=-2$ y el punto $x=0$ excluido del dominio:

$f'(-3)=\dfrac{-4(-1)}{-27}<0\qquad f'(-1)=\dfrac{-4(1)}{-1}=4>0\qquad f'(1)=\dfrac{-4(3)}{1}=-12<0$

La función decrece en $(-\infty,-2)$, crece en $(-2,0)$ y decrece en $(0,+\infty)$. Como pasa de decreciente a creciente en $x=-2$, ahí hay un mínimo relativo:

$f(-2)=\dfrac{-8+4}{4}=-1\Rightarrow \text{mínimo relativo en }(-2,-1)$

$\textbf{b) Represéntela gráficamente. [0,5 puntos]}$

Además de lo anterior necesitamos el corte con el eje de abscisas, que es el único que hay porque $x=0$ no pertenece al dominio:

$f(x)=0\Rightarrow 4x+4=0\Rightarrow x=-1\Rightarrow (-1,0)$



Las dos asíntotas son los propios ejes de coordenadas: la rama de la derecha baja desde $+\infty$ hasta pegarse al eje de abscisas, y la de la izquierda sube desde el mínimo $(-2,-1)$, corta el eje en $(-1,0)$ y se dispara a $+\infty$.