Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Se consideran las rectas $r: \begin{cases} x = 1 - 2\lambda \\ y = 5 + 2\lambda \\ z = -6\lambda \end{cases}$ y $s: \dfrac{x+1}{1} = \dfrac{y-1}{a} = \dfrac{z}{3}$.

a) Calcule $a$ para que ambas rectas sean paralelas. [1 punto]

b) Halle el ángulo que forman la recta $r$ y el plano de ecuación $-3x + 4y - 4 = 0$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{a}\textbf{ para que ambas rectas sean paralelas. [1 punto]}$

Dos rectas son paralelas cuando sus vectores directores son proporcionales, así que basta leer un director de cada una e imponer esa proporcionalidad.

$\vec v_r=(-2,2,-6)\qquad \vec v_s=(1,a,3)$

Simplificamos $\vec v_r$ dividiendo entre $-2$, que da un director de la misma dirección:

$\vec v_r=-2\,(1,-1,3)\Rightarrow (1,-1,3)\ \text{es también director de } r$

$(1,a,3)=(1,-1,3)\Rightarrow a=-1$

Las dos rectas son paralelas para $a=-1$.

$\textbf{b) Halle el ángulo que forman la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y el plano de ecuación } \boldsymbol{-3x + 4y - 4 = 0}\textbf{. [1 punto]}$

El ángulo que forman una recta y un plano es el complementario del que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano; por eso el coseno de aquel se convierte en el seno de este.



$\vec v_r=(-2,2,-6)\qquad \vec n_{\pi}=(-3,4,0)$

$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\left|\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}\right|}{\left|\vec v_r\right|\left|\vec n_{\pi}\right|}$

$\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}=(-2)(-3)+2\cdot 4+(-6)\cdot 0=6+8=14$

$\left|\vec v_r\right|=\sqrt{4+4+36}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}\qquad \left|\vec n_{\pi}\right|=\sqrt{9+16+0}=5$

$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{14}{2\sqrt{11}\cdot 5}=\dfrac{7}{5\sqrt{11}}=\dfrac{7\sqrt{11}}{55}\approx 0{,}4221$

$\alpha=\arcsin\left(0{,}4221\right)\approx 24^{\circ}\,58'$

La recta $r$ y el plano forman un ángulo de, aproximadamente, $24^{\circ}\,58'$.