Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Luis es un estudiante bastante despistado y su tutora está cansada de que llegue tarde a clase. Ella le propone el siguiente trato: si en los próximos 10 días Luis llega tarde como mucho 3 días, le subirá 1 punto en la nota final de la evaluación. Sabiendo que la probabilidad de que Luis llegue tarde a clase cada día es 0,5, determine:

a) El tipo de distribución que sigue la variable aleatoria que cuenta el número de días que Luis llega tarde a clase en los próximos 10 días. ¿Cuáles son sus parámetros? [0,5 puntos]

b) ¿Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución? [0,75 puntos]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que Luis consiga esa subida de 1 punto en la nota final? [0,75 puntos]

$\textbf{a) El tipo de distribución que sigue la variable aleatoria que cuenta el número de días que Luis llega tarde a clase en los próximos 10 días. ¿Cuáles son sus parámetros? [0,5 puntos]}$

Sea $X$ el número de días que Luis llega tarde en los próximos $10$ días. El experimento se repite un número fijo de veces, cada día solo caben dos resultados —llegar tarde o no llegar tarde—, la probabilidad de llegar tarde es la misma todos los días y lo que ocurre un día no influye en los demás. Se trata, por tanto, de una distribución binomial.

$X\sim B(n,p)=B(10;\,0{,}5)$

La variable sigue una distribución binomial de parámetros $n=10$ y $p=0{,}5$.

$\textbf{b) ¿Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución? [0,75 puntos]}$

Aplicamos las fórmulas de la media y de la desviación típica de una binomial.

$\mu=n\,p=10\cdot 0{,}5=5$

$\sigma=\sqrt{n\,p\,(1-p)}=\sqrt{10\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5}=\sqrt{2{,}5}\approx 1{,}5811$

Luis llega tarde, por término medio, $5$ días de cada $10$, con una desviación típica de $1{,}5811$ días.

$\textbf{c) ¿Cuál es la probabilidad de que Luis consiga esa subida de 1 punto en la nota final? [0,75 puntos]}$

Luis consigue la subida si llega tarde como mucho tres días, es decir, si $X\leq 3$. Sumamos las probabilidades de los cuatro casos favorables usando la función de probabilidad de la binomial.

$P(X\leq 3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$

$P(X=k)=\binom{10}{k}(0{,}5)^k(0{,}5)^{10-k}=\binom{10}{k}(0{,}5)^{10}=\dfrac{\binom{10}{k}}{1024}$

$P(X\leq 3)=\dfrac{\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\binom{10}{2}+\binom{10}{3}}{1024}=\dfrac{1+10+45+120}{1024}$

$P(X\leq 3)=\dfrac{176}{1024}=\dfrac{11}{64}\approx 0{,}1719$

La probabilidad de que Luis consiga la subida de un punto es $0{,}1719$, es decir, un $17{,}19\%$.