Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Calcule el área encerrada entre las gráficas de las funciones $f(x) = x^3 - 5x$ y $g(x) = -x$. [2 puntos]

Para calcular el área encerrada entre dos curvas hallamos primero sus puntos de corte, que son los límites de integración, y a continuación integramos en cada tramo la diferencia entre la función que va por arriba y la que va por abajo.

$f(x)=g(x)\Rightarrow x^3-5x=-x\Rightarrow x^3-4x=0$

$x\left(x^2-4\right)=0\Rightarrow \begin{cases}x=0 \\ x=-2 \\ x=2\end{cases}$

Hay tres puntos de corte, luego el recinto consta de dos trozos. Averiguamos en cada uno cuál de las dos gráficas queda por encima evaluando la diferencia en un punto interior:

$(f-g)(-1)=(-1)^3-4(-1)=3>0\Rightarrow f\ \text{va por encima en }(-2,0)$

$(f-g)(1)=1^3-4\cdot 1=-3<0\Rightarrow g\ \text{va por encima en }(0,2)$



Calculamos cada trozo por separado y aplicamos la regla de Barrow:

$A_1=\displaystyle\int_{-2}^{0}\left(x^3-4x\right)dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-2x^2\right]_{-2}^{0}=0-\left(4-8\right)=4$

$A_2=\displaystyle\int_{0}^{2}\left(4x-x^3\right)dx=\left[2x^2-\dfrac{x^4}{4}\right]_{0}^{2}=\left(8-4\right)-0=4$

$A=A_1+A_2=4+4=8\ \text{u}^2$

El área encerrada entre las dos gráficas es de $8$ unidades de área. Era previsible que los dos trozos midiesen lo mismo, porque $f$ y $g$ son funciones impares y el recinto resulta simétrico respecto del origen.