Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Halle una primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = (2x + 5) \cdot e^{-2x}$ que cumpla $F(0) = 0$. [2 puntos]

Se trata de una integral del tipo polinomio por exponencial, que se resuelve por partes tomando como $u$ el polinomio, para que al derivarlo baje de grado.

$\begin{cases}u=2x+5 & du=2\,dx \\ dv=e^{-2x}dx & v=-\dfrac{1}{2}e^{-2x}\end{cases}$

$\displaystyle\int (2x+5)e^{-2x}dx=-\dfrac{2x+5}{2}e^{-2x}+\int e^{-2x}dx$

$=-\dfrac{2x+5}{2}e^{-2x}-\dfrac{1}{2}e^{-2x}+C=-\dfrac{2x+6}{2}e^{-2x}+C=-(x+3)e^{-2x}+C$

De todas las primitivas seleccionamos la que cumple la condición $F(0)=0$:

$F(0)=-(0+3)e^{0}+C=-3+C=0\Rightarrow C=3$

Comprobamos derivando el resultado, aplicando la regla del producto:

$F'(x)=-e^{-2x}+2(x+3)e^{-2x}=e^{-2x}(-1+2x+6)=(2x+5)e^{-2x}=f(x)$

La primitiva pedida es $F(x)=-(x+3)e^{-2x}+3$.