Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule el valor de $a$ para que la función

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\operatorname{sen}(x) - x \cdot e^x}{x^2 - 2\cos(x) + 2} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases}$

sea continua en $x = 0$. [2 puntos]

La función es continua en $x=0$ cuando existe el límite en ese punto y coincide con el valor que toma allí, es decir, cuando

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(x)-x\,e^{x}}{x^2-2\cos(x)+2}=f(0)=a$

Calculamos el límite. Al sustituir se obtiene una indeterminación:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(x)-x\,e^{x}}{x^2-2\cos(x)+2}=\dfrac{0-0}{0-2+2}=\dfrac{0}{0}$

Aplicamos la regla de L'Hôpital, derivando por separado numerador y denominador:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos(x)-e^{x}(1+x)}{2x+2\operatorname{sen}(x)}=\dfrac{1-1}{0+0}=\dfrac{0}{0}$

Sigue siendo indeterminado, así que volvemos a aplicarla:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{-\operatorname{sen}(x)-e^{x}(2+x)}{2+2\cos(x)}=\dfrac{0-1\cdot 2}{2+2}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2}$

Para que la función sea continua en $x=0$ el valor de $a$ debe ser $a=-\frac{1}{2}$.