Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Halle los intervalos de crecimiento y los puntos extremos de la función $f(x) = x^2 \cdot e^{-x}$. [2 puntos]

La función es producto de un polinomio y una exponencial, así que su dominio es todo $\mathbb{R}$ y es derivable en él. Para estudiar la monotonía hallamos la derivada, la igualamos a cero y estudiamos su signo.

$f(x)=x^2e^{-x}\Rightarrow f'(x)=2xe^{-x}+x^2\left(-e^{-x}\right)=e^{-x}\left(2x-x^2\right)=x(2-x)e^{-x}$

$f'(x)=0\Rightarrow x(2-x)e^{-x}=0$

La exponencial no se anula nunca, de modo que los puntos críticos salen del factor polinómico:

$x(2-x)=0\Rightarrow \begin{cases}x=0 \\ x=2\end{cases}$

Estudiamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los tres intervalos que determinan estos valores. Como $e^{-x}>0$ siempre, el signo lo decide la parábola $x(2-x)$, que abre hacia abajo:

$f'(-1)=(-1)\cdot 3\cdot e^{1}=-3e<0$

$f'(1)=1\cdot 1\cdot e^{-1}=\dfrac{1}{e}>0$

$f'(3)=3\cdot(-1)\cdot e^{-3}=-\dfrac{3}{e^3}<0$



La función es decreciente en $(-\infty,0)$, creciente en $(0,2)$ y decreciente en $(2,+\infty)$.

Como $f$ pasa de decreciente a creciente en $x=0$, ahí hay un mínimo relativo, y como pasa de creciente a decreciente en $x=2$, ahí hay un máximo relativo. Calculamos sus ordenadas:

$f(0)=0^2e^{0}=0$

$f(2)=2^2e^{-2}=\dfrac{4}{e^2}\approx 0{,}5413$

La función crece en el intervalo $(0,2)$ y decrece en $(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$; tiene un mínimo relativo en el punto $(0,0)$ y un máximo relativo en el punto $\left(2,\frac{4}{e^2}\right)$.