Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Halle la ecuación del plano que contiene a la recta $r \equiv \begin{cases} x - y - 4z + 1 = 0 \\ x - 2z + 1 = 0 \end{cases}$ y es paralelo a la recta de ecuación $s \equiv \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-3}{-1} = \dfrac{z}{3}$. [2 puntos]

El plano pedido contiene a la recta $r$ y es paralelo a la recta $s$. Queda entonces determinado por un punto cualquiera de $r$ y por los dos vectores directores, el de $r$ y el de $s$, cuyo producto vectorial es un vector normal del plano.

Pasamos $r$ a paramétricas. De la segunda ecuación se despeja $x$ y se sustituye en la primera:

$x-2z+1=0\Rightarrow x=2z-1$

$(2z-1)-y-4z+1=0\Rightarrow -y-2z=0\Rightarrow y=-2z$

$r:\begin{cases}x=-1+2\lambda \\ y=-2\lambda \\ z=\lambda\end{cases}\ \lambda\in\mathbb{R}\Rightarrow P_r(-1,0,0),\ \vec v_r=(2,-2,1)$

De la ecuación continua de $s$ se lee directamente su vector director:

$\vec v_s=(2,-1,3)$

Un vector normal del plano es el producto vectorial de los dos directores:

$\vec n_{\pi}=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & -2 & 1\\ 2 & -1 & 3\end{vmatrix}=(-6+1)\vec i-(6-2)\vec j+(-2+4)\vec k=(-5,-4,2)$

Tomamos el opuesto, $\vec n_{\pi}=(5,4,-2)$, y escribimos la ecuación general:

$\pi: 5x+4y-2z+D=0$

Imponemos que el punto $P_r$ pertenezca al plano:

$5(-1)+4\cdot 0-2\cdot 0+D=0\Rightarrow D=5$

$\pi: 5x+4y-2z+5=0$

Falta comprobar que $s$ es paralela al plano y no está contenida en él. Sustituimos el punto $P_s(1,3,0)$ de $s$:

$5\cdot 1+4\cdot 3-2\cdot 0+5=22\neq 0$

Como el punto no pertenece al plano y el director $\vec v_s$ sí es perpendicular a $\vec n_{\pi}$, la recta $s$ es efectivamente paralela a $\pi$ y exterior a él.



El plano pedido es $\pi: 5x+4y-2z+5=0$.